Question

（本小题满分12分）已知直三棱柱中，，，点在上．

（1）若是中点，求证：∥平面;
（2）当时，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：连结BC₁，交B₁C于E，DE．
∵ 直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中点，
∴侧面B B₁C₁C为矩形，DE为△ABC₁的中位线，
∴ DE// AC₁．                 …………………………………2分
因为 ∵DE平面B₁CD， AC₁平面B₁CD，                    
∴AC₁∥平面B₁CD．     …………………………………4分
（2）  ∵ AC⊥BC，
所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．     

则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A₁ (0, 0, c)，B₁ (3, 0, 4)．
设D (a, b, 0)（，），         …………………5分
∵点D在线段AB上，且， 即．
∴．                    …………………7分
所以，，．                     
高三数学（理工类）参考答案第2页（共4页）
平面BCD的法向量为． ……………………………………8分
设平面B₁ CD的法向量为，
由 ，， 得 ，
所以，． ……………………………………10分                   
设二面角的大小为， ． ……………………11分
所以二面角的余弦值为．         ……………………12分

略