Question

6．已知a＞0且a≠1，f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•（x-x^-1）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）判断f（x）的奇偶性和单调性；（不必证明）
（3）当f（x）定义域为（-1，1）时，解关于m的不等式：f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

分析 （1）令log_ax=t，x=a^t，求出 f（t） 的解析式，可得f（x）的解析式．
（2）根据函数的解析式判断函数的奇偶性和单调性．
（2）不等式即f（1-m）＜f（m²-1），可得 $\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-m＜1}\\{-1＜1{-m}^{2}＜1}\\{1-m{＜m}^{2}-1}\end{array}\right.$，求得m的范围．

解答 解：（1）∵知a＞0且a≠1，f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•（x-x^-1），令log_ax=t，x=a^t，
∴f（t）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•（a^t-a^-t ），t∈R，
∴f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•（a^x-a^-x），x∈R．
（2）由于f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•（ a^-x-a^x）=-f（x），故函数f（x）为奇函数．
当a＞1时，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，而t=a^x-a^-x在R上是增函数，
故f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•（a^x-a^-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•$\frac{{a}^{2x}-1}{{a}^{x}}$ 在R是增函数．
当a＞1时，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＜0，而t=a^x-a^-x在R上减增函数，
故f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•（a^x-a^-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•$\frac{{a}^{2x}-1}{{a}^{x}}$ 在R是增函数．
（3）当f（x）定义域为（-1，1）时，关于m的不等式：f（1-m）+f（1-m²）＜0，
即f（1-m）＜f（m²-1），∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-m＜1}\\{-1＜1{-m}^{2}＜1}\\{1-m{＜m}^{2}-1}\end{array}\right.$，求得1＜m＜$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查求函数的解析式，函数的单调性和奇偶性的判断，解其它不等式，属于中档题．