Question

一条光线经过P（2，3）点，射在直线l：x+y+1=0上，反射后穿过Q（1，1）．
（1）求光线的入射方程；
（2）求这条光线从P到Q的长度．

Answer 1

分析：（1）设点Q′（x′，y′）为Q关于直线l的对称点且QQ′交l于M点，可得直线QM的方程，与l联立可得点M的坐标，利用中点坐标公式可得Q′的坐标．设入射线与l交于点N，利用P，N，Q′共线，得到入射光线PN的方程；
（2）利用两点间的距离公式求出PQ′即可．

解答：解：（1）设点Q′（x′，y′）为Q关于直线l的对称点且QQ′交l于M点，由k_l=-1，得k_QQ′=1．
∴QQ′所在直线方程为y-1=1•（x-1）
即x-y=0．
由

x+y+1=0 x-y=0

解得l与QQ′的交点M的坐标为M(-

1

2

，-

1

2

)
又因为M为QQ′的中点，由此得

1+x′ 2 =- 1 2 1+y′ 2 =- 1 2

解之得

x′=-2 y′=-2

．
∴Q′（-2，-2）．
设入射线与l交于点N，且P，N，Q′共线．
则P（2，3），Q′（-2，-2），
得入射线方程为

y+2

3+2

=

x+2

2+2

，即5x-4y+2=0．
（2）因为l是QQ′的垂直平分线，因而NQ=NQ′．
所以PN+NQ=PN+NQ′=PQ′=

41

，
即这条光线从P到Q的长度是

41

．

点评：本题考查了入射光线与反射光线的问题、轴对称的性质、垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线之间的斜率关系、；两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．