Question

12．设等差数列{a_n}的和为S_n，则S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈，S₁₄-S₁₂成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{b_n}的前n项积为T_n，则T₄，$\frac{{T}_{8}}{{T}_{4}}$，$\frac{{T}_{12}}{{T}_{8}}$，$\frac{{T}_{16}}{{T}_{12}}$成等比数列．

Answer 1

分析 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．下面证明该结论的正确性．

解答 解：设等比数列{b_n}的公比为q，首项为b₁，
则T₄=b₁⁴q⁶，T₈=b₁⁸q¹⁺²⁺⁺⁷=b₁⁸q²⁸，
T₁₂=b₁¹²q^1+2++11=b₁¹²q⁶⁶，
∴$\frac{{T}_{8}}{{T}_{4}}$=b₁⁴q²²，$\frac{{T}_{12}}{{T}_{8}}$=b₁⁴q³⁸，
即（$\frac{{T}_{8}}{{T}_{4}}$）²=$\frac{{T}_{12}}{{T}_{8}}$•T₄，故T₄，$\frac{{T}_{8}}{{T}_{4}}$，$\frac{{T}_{12}}{{T}_{8}}$，成等比数列，
故答案为：$\frac{{T}_{8}}{{T}_{4}}$，$\frac{{T}_{12}}{{T}_{8}}$．

点评 本题主要考查类比推理，类比推理一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．