Question

（2012•保定一模）已知函数f（x）=

ln(x+1)

(x+1)2

-

a

x+1

-2x，(a＞0)．
（1）若函数f（x）在x=0处取极值，求a值；
（2）如图，设直线x=-1，y=-2x，将坐标平面分成I、II、III、IV四个区域（不含边界），若函数y=f（x）的图象恰好位于其中一个区域内，试判断其所在的区域，并求其对应的a的取值范围
（3）试比较2012²⁰¹¹与2011²⁰¹²的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

ln(x+1)

(x+1)2

-

a

x+1

-2x，得f′(x)=

(x+1)-2(x+1)ln(x+1)

(x+1)4

+

a

(x+1)2

-2，由f（x）在x=0处取极值，能求出a．
（2）由函数的定义域为（-1，+∞），且当x=0时，f（0）=-a＜0，又直线y=-2x恰好过原点，所以函数y=f（x）的图象应位于区域Ⅲ内，于是f（x）＜-2x，由此能求出a的取值范围．
（3）由（2）知，函数m（x）=

ln(x+1)

x+1

在x∈（e-1，+∞）时单调递减，故函数p（x）=

lnx

x

在x∈（e，+∞）时，单调递减，故

ln(x+1)

x+1

＜

lnx

x

，由此能证明2012²⁰¹¹＜2011²⁰¹²．

解答：解：（1）∵f(x)=

ln(x+1)

(x+1)2

-

a

x+1

-2x，
∴f′(x)=

(x+1)-2(x+1)ln(x+1)

(x+1)4

+

a

(x+1)2

-2，
∵f（x）在x=0处取极值，
∴f′（x）=1+a-2=0，
∴a=1，经检验a=1符合题意，
故a=1．
（2）∵函数的定义域为（-1，+∞），且当x=0时，f（0）=-a＜0，
又直线y=-2x恰好过原点，
所以函数y=f（x）的图象应位于区域Ⅲ内，
于是f（x）＜-2x，
即

ln(x+1)

(x+1)2

＜

a

x+1

，
∵x+1＞0，∴a＞

ln(x+1)

x+1

，
令m（x）=

ln(x+1)

x+1

，∴m′(x)=

1-ln(x+1)

(x+1) 2

，
令m′（x）=0，得x=e-1，
∵x＞-1，∴x∈（-1，e-1）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增，
x∈（e-1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减．
∴mmax(x)=m(e-1)=

1

e

，
∴a的取值范围是：a＞

1

e

．
（3）由（2）知，函数m（x）=

ln(x+1)

x+1

在x∈（e-1，+∞）时单调递减，
∴函数p（x）=

lnx

x

在x∈（e，+∞）时，单调递减，
∴

ln(x+1)

x+1

＜

lnx

x

，∴xln（x+1）＜（x+1）lnx，
∴ln（x+1）^x＜lnx^（x+1），即（x+1）^x＜x^（x+1），
∴令x=2011，则2012²⁰¹¹＜2011²⁰¹²．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题中的隐含条件，合理地进行等价转化．