Question

已知(b-c)log_mx+(c-a)log_my+(a-b)log_mz=0，

(1)若a,b,c成等差数列，且公差d≠0，求证：x,y,z成等比数列；

(2)若正数x,y,z成等比数列，且公比q≠1，求证：a,b,c成等差数列.

Answer 1

解：(1)∵a,b,c成等差数列，且公差d≠0，

∴b-c=a-b=-d,c-a=2d,d≠0.

代入已知条件得-d(log_mx-2log_my+log_mz)=0.

∵d≠0,∴log_mx+log_mz=2log_my.

∴y²=xz.由于x,y,z均大于0，

∴x,y,z成等比数列.

(2)∵x,y,z成等比数列，且公比q≠1，x,y,z均大于0，

∴==q(q≠1).

两边取对数得log_my-log_mx=log_mz-log_my=log_mq≠0，

代入已知条件中，可得

(b-c)(log_my-log_mq)+(c-a)log_my+(a-b)(log_my+log_mq)=0.

∴(a-2b+c)log_mq=0.

∴a+c=2b.

∴a,b,c成等差数列.