Question

6．已知f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，g（x）=-（x-1）²+a²，若x＞0时，?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，则实数a的取值范围是（-∞，-$\sqrt{e}$]∪[$\sqrt{e}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据题意?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，等价于f（x）_min≤g（x）_max，
再求出g（x）_max与f（x）_min的值，利用不等式求出a的取值范围．

解答 解：?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，等价于f（x）_min≤g（x）_max，
∵g（x）=-（x-1）²+a²，x＞0，
∴当x=1时，g（x）_max=a²；
又∵f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{{xe}^{x}{-e}^{x}}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1{）e}^{x}}{{x}^{2}}$，
0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，
x＞-1时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
∴x=-1时，f′（x）=0，f（x）_min=e；
∴e≤a²，解得a≤-$\sqrt{e}$，或a≥$\sqrt{e}$，
∴实数a的取值范围是（-∞-$\sqrt{e}$]∪[$\sqrt{e}$+∞）．
故答案为：（-∞，-$\sqrt{e}$]∪[$\sqrt{e}$，+∞）．

点评 本题考查了特称命题的应用问题，也考查了求函数最值的应用问题，是综合性题目．