题目内容
已知数列{an}中，a1=0，an+1=
（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；
（2）是否存在不等于零的常数p，使{
}是等差数列，若存在，求出p的公差d的值，若不存在，请说明理由．
| 1+an |
| 3-an |
（1）求a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；
（2）是否存在不等于零的常数p，使{
| 1 |
| an+p |
分析：（1）根据a1=0，an+1=
（n∈N*）求a2，a3，a4，a5的值，观察各项分子，分母的特点，于是可以写出通项公式an，
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在不等于零的常数p，使{
}是等差数列，再利用
+d=
，是关于变量an的恒等式，求出q和p的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
| 1+an |
| 3-an |
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在不等于零的常数p，使{
| 1 |
| an+p |
| 1 |
| an+p |
| da n+(1+pd) |
| a n+p |
解答：解：（1）a1=0，a2=
=
，a3=
=
，
a4=
，a5=
，…
观察并归纳出这个数列的通项公式an=
．
（2）设存在不等于零的常数p，使{
}是等差数列，
则
=
+d，
而
=
=
，
+d=
，
∴
=
，
化简得：（1+d-pd）an2+（d-2+4pd-p2d）an+（1+pd+3p2d）=0，
因为上式是关于变量an的恒等式，
∴
解得：
，
∴存在不等于零的常数p=-1，使{
}是等差数列，且公差为-
．
| 1+0 |
| 3-0 |
| 1 |
| 3 |
1+
| ||
3-
|
| 1 |
| 2 |
a4=
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
观察并归纳出这个数列的通项公式an=
| n-1 |
| n+1 |
（2）设存在不等于零的常数p，使{
| 1 |
| an+p |
则
| 1 |
| an+1+p |
| 1 |
| an+p |
而
| 1 |
| an+1+p |
| 1 | ||
|
| 3-a n |
| (1-p)a n+(3p+1) |
| 1 |
| an+p |
| da n+(1+pd) |
| a n+p |
∴
| 3-a n |
| (1-p)a n+(3p+1) |
| da n+(1+pd) |
| a n+p |
化简得：（1+d-pd）an2+（d-2+4pd-p2d）an+（1+pd+3p2d）=0，
因为上式是关于变量an的恒等式，
∴
|
解得：
|
∴存在不等于零的常数p=-1，使{
| 1 |
| an+p |
| 1 |
| 2 |
点评：本题主要考查数列递推式和等差关系的确定等知识点，熟练掌握归纳法进行数学解题，本题难度一般．
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| ||
C、
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D、
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