题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ，若存在实数x₀，使f（x₀）=x₀则称x₀是函数y=f（x）的一个不动点．
（I）证明：函数y=f（x）有两个不动点；
（II）已知a、b是y=f（x）的两个不动点，且a＞b．当x≠- $数学公式$ ≠ $数学公式$ 时，比较 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的大小；
（III）在数列{an}中，a₁≠- $数学公式$ 且a_n≠ $数学公式$ ，a₁=1，等式a_n+1=f（a_n）对任何正整数n都成立，求数列{a_n}的通项公式．

（I）证明：∵ $\text{[math]}$ ，
∴2x²-5x-3=0，
解得 $\text{[math]}$ ，x₂=3，经过检验，得 $\text{[math]}$ ，x₂=3是方程 $\text{[math]}$ 的解．
∴函数y=f（x）上有两个不动点，它们是 $\text{[math]}$ ，x₂=3．…（3分）
（II）解：由（I）可知a=3，b=- $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =8× $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相等．…（6分）
（III）解：∵ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，
由（II）知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．…（8分）
∴数列 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为首项，8为公比的等比数列．
即以- $\text{[math]}$ 为首项，8为公比的等比数列．…（10分）
∴ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（I）解方程 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，x₂=3，所以函数y=f（x）上有两个不动点 $\text{[math]}$ ，x₂=3．
（II）由a=3，b=- $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =8× $\text{[math]}$ ．所以 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相等．
（III） $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，由此能够推导出数列{a_n}的通项公式．
点评：本题考查数列与函数的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．