Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B恰好是抛物线的焦点，且离心率等于，直线与椭圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C的右焦点F是否可以为的垂心？若可以，求出直线的方程；若不行，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

试题分析：（Ⅰ）设椭圆C的方程：，
由题意知，
∴ 椭圆C的方程为： 
（Ⅱ）假设存在这样的直线，使得是的垂心，直线BF的斜率为，
从而直线的斜率为，设直线的方程为，
由，设
则，且，


，解得或 
当时点B为直线与椭圆的一个交点，不合题意舍去；
当时，直线与椭圆相交两点，且满足题意；
综上可知直线的方程为时，椭圆C的右焦点F是可以为的垂心 。
点评：本题考查了椭圆方程的求法，以及存在性问题的做法，为圆锥曲线的常规题，应当掌握。考查了学生综合分析问题的能力，知识的迁移能力以及运算能力。解题时要认真审题，仔细分析。