Question

已知f0(x)=xex，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…fn(x)=fn-1′(x)，n∈N^*
（1）请写出f_n（x）的表达式（不需要证明）；
（2）求f_n（x）的极小值；
（3）设gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，g_n（x）的最大值为a，f_n（x）的最小值为b，证明：a-b≥e^-4．

Answer 1

分析：（1）由f0(x)=xex，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…fn(x)=fn-1′(x)，n∈N^*，知f₁（x）=e^x+xe^x=（x+1）e^x，
f₂（x）=e^x+（x+1）e^x=（x+2）e^x，f3(x)=ex+(x+3)ex，…，由此能求出f_n（x）=（x+n）•e^x，n∈N^*
（2）由fn(x)=(x+n)ex，知fn′(x)=（x+n+1）e^x，由此能求出f_n（x）的极小值．
（3）由gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，g_n（x）的最大值为a，f_n（x）的最小值为b，知a-b=（n-3）²+e^-（n+1）．令h（x）=（x-3）²+e^-（x+1），（x≥0）．由此能够证明a-b≥e^-4．

解答：解：（1）∵f0(x)=xex，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…fn(x)=fn-1′(x)，n∈N^*
∴f₁（x）=e^x+xe^x=（x+1）e^x，
f₂（x）=e^x+（x+1）e^x=（x+2）e^x，
f3(x)=ex+(x+3)ex，
…
∴f_n（x）=（x+n）•e^x，n∈N^*
（2）∵fn(x)=(x+n)ex，
∴fn′(x)=（x+n+1）e^x，
∵x＞-（n+1）时，fn′(x)＞0；x＜-（n+1）时，fn′(x)＜0，
∴当x=-（n+1）时，f_n（x）取得极小值f_n（-（n+1））=-e^-（n+1）．
（3）∵gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，
g_n（x）的最大值为a，f_n（x）的最小值为b，
∴a=g_n（-（n+1））=（n-3）²，b=f_n（-（n+1））=-e^-（n+1）．
∴a-b=（n-3）²+e^-（n+1）．
令h（x）=（x-3）²+e^-（x+1），（x≥0）
则h′（x）=2（x-3）-e^-（x+1），
∵h′（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
∴h′（x）≥h′（0）=-6-e^-1，
∵h′（3）=-e^-4＜0，h′（4）=2-e^-5＞0，
∴存在x₀∈（3，4），使得h′（x）=0．
∴0≤x≤x₀时，h′（x₀）＜0；当x＞x₀时，h′（x₀）＞0．
即h（x）在区间[x₀，+∞）上单调递增；在区间[0，x₀）音调递减，
∴h（x）_min=h（x₀）．
∵h′（3）=-e^-4＜0，h′（4）=2-e^-5＞0，
∴当n=3时，a-b取得最小值e^-4，
所以a-b≥e^-4．

点评：本题考查导数在求最大值、最小值中的应用，综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思想的要求较高．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．