Question

如图，已知圆A过定点B（0，2），圆心A在抛物线C：x²=4y上运动，MN为圆A在x轴上所截得的弦．
（Ⅰ）证明：|MN|是定值；
（Ⅱ）讨论抛物线C的准线l与圆A的位置关系；
（Ⅲ）设D是抛物线C的准线l上任意一点，过D向抛物线作两条切线DS，DT（切点是S，T），判断直线ST是否过定点，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设A（x₀，y₀），根据抛物线的方程求得其横坐标和纵坐标的关系，根据两点间的距离表ishichu圆的半径，进而表示出圆的方程，把y=0，和x₀²=4y₀代入，表示出x₁和x₂进而求得|MN|为定值．
（Ⅱ）先表示出圆心A到抛物线准线方程的距离，进而表示出d²-r²，根据y₀的范围确定抛物线与圆的位置关系．
（Ⅲ）设出切点的坐标，对抛物线方程求导，求得切点处直线的斜率，表示出切线方程，把切点代入求得x₁x₂，进而根据S，T坐标表示出直线方程，把x₁x₂的值代入，进而根据直线的方程推断出直线恒过定点（0，1）．

解答：解：（Ⅰ）设A（x₀，y₀），则x₀²=4y₀，
则圆A的半径r=|AB|=

x 2 0 +(y0-2)2

，
则圆A的方程为（x-x₀）²+（y-y₀）²=x₀²+（y₀-2）²，
令y=0，并将x₀²=4y₀代入得x²-2x₀x+x₀²-4=0，
解得x₁=x₀-2，x₂=x₀+2，∴|MN|=|x₁-x₂|=4为定值．

（Ⅱ）圆心A到抛物线准线l：y=-1的距离为d=y₀+1，
则d²-r²=6y₀-3-x₀²=2y₀-3
所以，当0≤y0＜

3

2

时，d＜r，抛物线C的准线l与圆A相交；
当y0=

3

2

时，d=r，抛物线C的准线l与圆A相切；
当y0＞

3

2

时，d=r，抛物线C的准线l与圆A相离．

（Ⅲ）设切点为S(x1，

x 2 1

4

)，T(x2，

x 2 2

4

)，由y′=

1

2

xk，
则切线为y+1=

xk

2

(x-t)，
所以

x 2 k

4

=

1

2

xkt+1，(k=1，2)?消去t可得，x₁x₂=-4．
又kST=

x12-x22

4(x1-x2)

=

x1+x2

4

，
所以直线ST的方程是y-

x 2 1

4

=

x1+x2

4

(x-x1)，
即y=

x1+x2

4

x-

x1x2

4

，
把x₁x₂=-4，代入得y=

x1+x2

4

x+1，
故直线ST是过定点F（0，1）．

点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了考生综合运用基础知识的能力．