题目内容

若椭圆 $数学公式$ 的左、右焦点分别为F₁，F₂，抛物线y²=4bx的焦点为M，若 $数学公式$ ，则此椭圆的离心率为________．

$\text{[math]}$
分析：先根据椭圆和抛物线的方程分别求得其焦点坐标，进而分别表示出 $\text{[math]}$ ，根据 $\text{[math]}$ 建立等式求得b和a的关系，进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．
解答：依题意可知抛物线的焦点为M（b，0），椭圆的焦点为F₂（ $\text{[math]}$ ，0），F₁（- $\text{[math]}$ ，0）
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
①当 $\text{[math]}$ 时，
∴ $\text{[math]}$ +b=2（b- $\text{[math]}$ ），整理得9a²=10b²，
∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
②当 $\text{[math]}$ 时，
∴ $\text{[math]}$ +b=-2（b- $\text{[math]}$ ），整理得a²=10b²，
∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
则此椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题主要考查了椭圆和抛物线的简单性质．考查了学生基础知识的理解和应用以及基本的运算能力．

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已知椭圆的左、右焦点分别是

、，是椭圆外的动点，满足，

点Ｐ是线段与该椭圆的交点，点Ｔ在线段上，并且

满足．

（Ⅰ）设为点Ｐ的横坐标，证明；

（Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；

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∠的正切值；若不存在，请说明理由．

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点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，

点T在线段F₂Q上，并且满足

（Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；

（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，

使△F₁MF₂的面积S=若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由.

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