Question

19．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD．求证：A₁D⊥平面ABC₁D₁．

Answer 1

分析 证明AB⊥A₁D，AD₁⊥A₁D，通过AB∩AD₁=A，AB?平面ABC₁D₁，AD₁?平面ABC₁D₁，即可证明A₁D⊥平面ABC₁D₁．

解答 证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为长方体，
∴AB⊥平面AA₁D₁D．
∵A₁D?平面AA₁D₁D，
∴AB⊥A₁D．…（4分）
∵AD=AA₁，
∴四边形AA₁D₁D为正方形．…（6分）
∴AD₁⊥A₁D．…（8分）
∵AB∩AD₁=A，AB?平面ABC₁D₁，AD₁?平面ABC₁D₁，
∴A₁D⊥平面ABC₁D₁．…（10分）

点评 本小题主要考查空间线面位置关系，几何体体积等基本知识，考查空间想象能力和推理论证能力，注意判定定理的应用．