Question

已知函数

（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点P（1，f(1)）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意成立，试求a的取值范围；

（Ⅲ）记g(x)=f(x)+x-b(b∈R).当a=1时，函数g(x)在区间上有两个零点，求实数b的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1， 函数f(x)的定义域为  

因为，所以，所以a=1

所以

由解得x>2 ; 由解得0<x<2

所以f(x)得单调增区间是，单调减区间是

（Ⅱ）

由解得由解得

所以f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减

所以当时，函数f(x)取得最小值

因为对于任意成立，

所以即可

则，由解得

所以a得取值范围是    xk.Com]

（Ⅲ）依题意得，则

由解得x>1，由解得0<x<1

所以函数g(x)在区间上有两个零点，

所以      解得

所以b得取值范围是