Question

8．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M（-2，-4），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=2cosθ．
（1）写出直线l的参数方程（α为常数）和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与C交于A、B两点，且|MA|•|MB|=40，求倾斜角α的值．

Answer 1

分析 （1）根据直线的倾斜角为α，且直线过点M（-2，-4），求出直线的参数方程即可；根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出C的直角坐标方程即可；
（2）联立方程组，求出，t₁t₂=$\frac{20}{{sin}^{2}α}$，根据直线参数的几何意义，求出α的值即可．

解答 解：（1）∵倾斜角为α的直线l过点M（-2，-4），
∴直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+tcosα}\\{y=-4+tsinα}\end{array}\right.$，（t是参数），
∵曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=2cosθ，
∴曲线C的直角坐标方程是：y²=2x；
（2）把直线的参数方程代入y²=2x，得t²sin²α-（2cosα+8sinα）t+20=0，
∴t₁+t₂=$\frac{2cosα+8sinα}{{sin}^{2}α}$，t₁t₂=$\frac{20}{{sin}^{2}α}$，
根据直线参数的几何意义
|MA||MB|=|t₁t₂|=$\frac{20}{{sin}^{2}α}$=40，
故α=$\frac{π}{4}$或α=$\frac{3π}{4}$，
又∵△=（2cosα+8sinα）²-80sin²α＞0，
故α=$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了极坐标方程以及直角坐标方程的转化，考查参数方程以及参数的几何意义，考查转化思想，是一道中档题．