Question

【题目】已知椭圆 的左右焦点分别为，直线经过椭圆的右焦点与椭圆交于两点，且.

（I）求直线的方程；

（II）已知过右焦点的动直线与椭圆交于不同两点，是否存在轴上一定点，使？（为坐标原点）若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】

（I）解法一：直线方程与椭圆方程联立化为一元二次方程，利用弦长公式即可得出．解法二：利用焦半径公式可得．

（II） II）设l2的方程为与椭圆联立：．假设存在点T（t，0）符合要求，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．∠OTP=∠OTQ，再利用根与系数的关系即可得出．

解：（I）设的方程为与椭圆联立得

直线经过椭圆内一点，故恒成立，设，则，

，

解得，的方程为或；

解2：由焦半径公式有，解得.

（II）设的方程为与椭圆联立：，由于过椭圆内一点，

假设存在点符合要求，设，韦达定理：

，点在直线上有

，即， ，

解得.