题目内容
（2010•湖北模拟）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，其外接圆半径为6，
=24，sinA+sinC=
．
（1）求cosB；
（2）求△ABC的面积的最大值．
| b |
| 1-cosB |
| 4 |
| 3 |
（1）求cosB；
（2）求△ABC的面积的最大值．
分析：（1）利用正弦定理及条件
=24，可得2（1-cosB）=sinB，再利用平方关系，从而可求得cosB；
（2）利用正弦定理及条件sinA+sinC=
，可得a+c=16，利用面积公式表示面积，借助于基本不等式可求△ABC的面积的最大值．
| b |
| 1-cosB |
（2）利用正弦定理及条件sinA+sinC=
| 4 |
| 3 |
解答：解：（1）
=24⇒
=24
∴2（1-cosB）=sinB （3分）
∴4（1-cosB）2=sin2B=（1-cosB）（1+cosB）
∵1-cosB≠0，
∴4（1-cosB）=1+cosB，
∴cosB=
，（6分）
（2）∵sinA+sinC=
，
∴
+
=
，即a+c=16．
又∵cosB=
，∴sinB=
．（8分）
∴S=
acsinB=
ac≤
(
)2=
．（10分）
当且仅当a=c=8时，Smax=
．（12分）
| b |
| 1-cosB |
| 2×6sinB |
| 1-cosB |
∴2（1-cosB）=sinB （3分）
∴4（1-cosB）2=sin2B=（1-cosB）（1+cosB）
∵1-cosB≠0，
∴4（1-cosB）=1+cosB，
∴cosB=
| 3 |
| 5 |
（2）∵sinA+sinC=
| 4 |
| 3 |
∴
| a |
| 12 |
| c |
| 12 |
| 4 |
| 3 |
又∵cosB=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| a+c |
| 2 |
| 128 |
| 5 |
当且仅当a=c=8时，Smax=
| 128 |
| 5 |
点评：本题以三角形为载体，考查正弦定理的运用，考查基本不等式，关键是边角之间的互化．
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