Question

如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，△ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点．

(1)证明：DF//平面ABC；

(2)求AB与平面BDF所成角的大小．

Answer 1

解：（1）证明：如图所示，取AB的中点G，连接CG,GF，则GF//BE，且GF=BE，

    ∵GF//CD,且GF=CD．

    ∴四边形FGCD是平行四边形．

    ∴DF//CG．

    又CG平面ABC，DF平面ABC，

    ∴DF//平面ABC．

    (2)解法一：设A到平面BDF的距离为h，

    由，得．

    在△BDF中，BF=，BD=DF=，

    ∴S_△ABF=，又S_△ABF=S_△ABE=1，且CB=2．∴．

    又设AB与平面BDF所成的角为，则

故AB与平面BDF所成的角大小为arcsin．

解法二：以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，2，1)，E(0，0，2)，F(1，0，1)．

，=(1，一2，0)．

    设平面BDF的一个法向量为n=(2，，b)，

    ∵n⊥，n⊥，

    ∴，即

    解得．∴

    又设AB与平面BDF所成的角为，则法线n与所成的角为，

    ∴cos()=

               =

    即sin=，故AB与平面BDF所成的角大小为arcsin．