题目内容
选修4-5：不等式选讲
对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-2b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，试求实数x的取值范围．
解：原式等价于 
≥|x-1|+|x-2|，设 
，
则原式变为|t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|，对任意t恒成立．
因为|t+1|+|2t-1|=
，最小值在 t=
时取到，为
，
所以有≥|x-1|+|x-2|=
解得 x∈[
，
]．
分析：设，原式变为|t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|，对任意t恒成立，故|t+1|+|2t-1|的最小值大于或等于
|x-1|+|x-2|，从而求出实数x的取值范围．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想．判断|t+1|+|2t-1|的最小值大于或等于|x-1|+|x-2|
是解题的关键．
≥|x-1|+|x-2|，设 ，则原式变为|t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|，对任意t恒成立．
因为|t+1|+|2t-1|=
，最小值在 t= 时取到，为，所以有
≥|x-1|+|x-2|= 解得 x∈[，]．分析：设
，原式变为|t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|，对任意t恒成立，故|t+1|+|2t-1|的最小值大于或等于|x-1|+|x-2|，从而求出实数x的取值范围．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想．判断|t+1|+|2t-1|的最小值
大于或等于|x-1|+|x-2|是解题的关键．
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