Question

已知某商品的价格上涨x%，销售的数量就会减少mx%，其中m＞0，
（1）当m=

1

2

时，该商品的价格上涨多少就能使销售总金额最大？
（2）如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）本题是通过构建函数模型解答销售金额的问题．根据理解题意写出二次函数解析式，再根据球二次函数最值的方法解出答案．
（2）根据二次函数图象的性质（增减性），先确定出当x=

50(1-m)

m

时，y的值最大，要使上涨后，销售总额有所增加，就是当0≤x≤

50(1-m)

m

时，y随x增大而增大，从而可得不等式，进而可确定m的取值范围．

解答：解：（1）设降价前每件定价为a元，销售量为b件，则价格上涨x%后销售总额为
y=a（1+x%）•b（1-mx%）=

ab

1002

[-mx2+100(1-m)x+1002]
当m=

1

2

时，y=

ab

1002

(-0.5x2+50x+1002)
∴当x=-

50

2×(-0.5)

=50时，y取最大值．故上涨50%时，售出总金额最大．
（2）由y=

ab

1002

[-mx2+100(1-m)x+1002]知，
当x=

50(1-m)

m

时，y的值最大．
上涨后，销售总额有所增加，就是当0≤x≤

50(1-m)

m

时，y随x增大而增大，
所以

-m＜0 50(1-m) m ＞0

⇒0＜m＜1
答：使售出总金额增加m的取值范围为：0＜m＜1．

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售额的问题常利函数的最值来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．