Question

已知2tanα•sinα=3，-

π

2

＜α＜0，则cos(α-

π

6

)的值是

0

．

Answer 1

分析：利用同角三角函数间的基本关系切化弦得到关系式，变形后代入sin²α+cos²α=1，得到关于cosα的方程，求出方程的解得到cosα的值，由α的范围，得到sinα小于0，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，将所求式子利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把sinα和cosα的值代入即可求出值．

解答：解：∵2tanα•sinα=

2sin2α

cosα

=3，即sin²α=

3

2

cosα，
∴代入sin²α+cos²α=1中得：cos²α+

3

2

cosα-1=0，即2cos²α+3cosα-2=0，
变形得：（2cosα-1）（cosα+2）=0，
解得：cosα=

1

2

或cosα=-2（舍去），
∵-

π

2

＜α＜0，∴sinα=-

1-cos2α

=-

3

2

，
则cos（α-

π

6

）=cosαcos

π

6

+sinαsin

π

6

=

1

2

×

3

2

-

3

2

×

1

2

=0．
故答案为：0

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．