Question

在数列{a_n}中，任意相邻两项为坐标的点P（a_n，a_n+1）均在直线y=2x+k上，数列{b_n}满足条件：b₁=2，b_n=a_n+1-a_n（n∈N）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=b_nlog₂

1

bn

，S_n=c₁+c₂+…+c_n，求2ⁿ⁺¹-S_n＞60n+2成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意a_n+1=2a_n+k，故b_n=a_n+1-a_n=2a_n+k-a_n=a_n+k，b_n+1=a_n+1+k=2a_n+k+k=2（a_n+k）=2b_n，由此能求出数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）cn=bnlog2

1

bn

=2n•log2

1

2n

=-n•2n，-S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，由错位相减法知2ⁿ⁺¹-S_n＞60n+2，即n•2ⁿ⁺¹＞60n，2ⁿ⁺¹＞60．由此知使2ⁿ⁺¹-S_n＞60•n+2成立的正整数n的最小值为5．

解答：解：（Ⅰ）依题意：a_n+1=2a_n+k
∴b_n=a_n+1-a_n=2a_n+k-a_n=a_n+k，（*）
∴b_n+1=a_n+1+k=2a_n+k+k=2（a_n+k）=2b_n，
∵b₁=2，∴

bn+1

bn

=2．∴数列{b_n}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴b_n=2•2^n-1=2ⁿ，即为数列b_n的通项公式．
（Ⅱ）cn=bnlog2

1

bn

=2n•log2

1

2n

=-n•2n
∴-S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ（3）
∴-2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹（4）
（3）-（4）得^ 
2ⁿ⁺¹-S_n＞60n+2，即∴n•2ⁿ⁺¹＞60n，∴2ⁿ⁺¹＞60
又当n≤4时，∴2ⁿ⁺¹≤2⁵=32＜60
当n≥5时，∴2ⁿ⁺¹≥2⁶=64＞60
故使2ⁿ⁺¹-S_n＞60•n+2成立的正整数n的最小值为5．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数列通项公式的求法和数列前n项和公式的合理运用，注意挖掘隐含条件，认真解题．