Question

已知数列{a_n}是等比数列，其首项a₁=1，公比为2；数列{b_n}是等差数列，其首项b₁=1，公差为d，且其前n项的和S_n满足S₇=14S₂；
（I）求数列{a_n+b_n}的前n项的和T_n；
（II）在数列{a_n}（n=1，2，3，4）中任取一项a_i，在数列{b_n}（1，2，3，4）中任取一项b_k，试求满足a_i²+b_i²≤81的概率．

Answer 1

分析：（I）由题意得a_n=2^n-1，b_n=1+（n-1）d，由S₇=14S₂，得d=3，由此能求出数列{a_n+b_n}的前n项的和T_n；
（II）a_i=2^i-1，i为1，2，4，8；b_k=3k-2，i为1，4，7，10．有序实数对（a_i，b_k）共有16个，分类讨论知满足题意的点共11个，由此能求出满足a_i²+b_i²≤81的概率．

解答：解：（I）由题意得：a_n=2^n-1，b_n=1+（n-1）d，由S₇=14S₂，得d=3
∴Tn=

1-2n

1-2

+

n(3n-1)

2

 =2n+

3

2

n2-

1

2

n-1
（II）a_i=2^i-1，i为1，2，4，8；b_k=3k-2，i为1，4，7，10
有序实数对（a_i，b_k）共有16个，
当a₁=1时，b_k取1，4，7共3个；当a₂=2时，b_k取1，4，7共3个
当a₃=4时，b_k取1，4，7共3个；当a₄=8时，b_k取1，4共2个；
满足题意的点共11个，所求的概率为

11

16

．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．