Question

已知定义在R上的函数y=f（x）为偶函数，且y=f（x+1）为奇函数，f（0）=2，则f（4）+f（5）=

 

．

Answer 1

分析：根据y=f（x+1）为奇函数，得f（-x+1）=-f（x+1），然后根据偶函数的性质和赋值法，分别求出f（4）与f（5）的值，计算即可得到答案．

解答：解：∵y=f（x+1）为奇函数，
∴f（-x+1）=-f（x+1），
将x代换为x+1，则有f（-x）=-f（x+2），
∵f（x）为R上的偶函数，则f（-x）=f（x），
∴f（x）=-f（x+2），
∴f（x+4）=f（x），
∴函数y=f（x）为周期函数，周期为4，
∴f（4）=f（0）=2，f（5）=f（4+1）=f（1），
∵y=f（x+1）为奇函数，
∴f（0+1）=0，即f（1）=0，
∴f（4）=2，f（5）=f（1）=0，
∴f（4）+f（5）=2+0=2，．
故答案为：2．

点评：本题考查了抽象函数及其应用以及函数的求值问题．此题解题的关键是通过所给的关系式求出函数的周期，利用周期转化求值．综合考查了函数奇偶性和周期性的应用，要熟练掌握函数的性质的综合应用．属于中档题．