Question

设椭圆C：（a，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，若P 是椭圆上的一点，，离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，，求点P的坐标；
（3）设过定点P（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，结合椭圆定义可求a，由离心率可求c，然后求出b即可求解椭圆C的方程
（2）由（1）的条件先表示，然后结合椭圆方程及二次函数的性质可求
（3）由题意可设直线y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与椭圆方程可得x₁+x₂，x₁x₂，然后可求
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2），由及＞0可求k的范围
解答：解：（1）∵，离心率
∴2a=4，e==
∴a=2，c=
∴b²=1
∴椭圆C的方程为
（2）由（1）可得
∴，
∴=（）（）+（-y）（-y）
=x²+y²-3
=-3
==
∵x＞0
∴x=1
∵y＞0
∴y=，故P（1，）
（3）显然直线x=0不满足题设，可设直线y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立整理可得，（）x²+4kx+3=0
∴x₁+x₂=-，，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=
由可得，k或k
∵∠AOB为锐角
∴＞0
∴
∴-2＜k＜2
综上可得，或-2
点评：本题主要考查了由椭圆性质求解椭圆的方程，向量的数量积的坐标表示，直线与椭圆相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于圆锥曲线的综合应用．