Question

13．已知函数f（x）=mx²+2x-1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是{-1}∪[0，+∞）．

Answer 1

分析 讨论函数的类型，开口方向，根与系数的关系．

解答 解：（1）当m=0时，f（x）=2x-1，f（x）的零点为x=$\frac{1}{2}$＞0，符合题意．
（2）当m＞0时，f（x）图象开口向上，对称轴为x=-$\frac{1}{m}$＜0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∵f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个正实数零点．
∴f（0）＜0，
即-1＜0，恒成立．
（3）当m＜0时，f（x）图象开口向下，对称轴为x=-$\frac{1}{m}$＞0，
①若△=0，即4+4m=0，解得m=-1，则-$\frac{2}{2m}$＞0，恒成立．
②若△＞0，即4+4m＞0，解得m＞-1，则f（x）=0有两根，设为x₁，x₂，
则x₁•x₂=$-\frac{1}{m}$＞0，与f（x）=mx²+2x-1有且仅有一个正实数的零点矛盾．
综上所述：m的取值范围是{-1}∪[0，+∞）．
故答案为{-1}∪[0，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的根的个数与系数的关系，是中档题．