Question

（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，

，是线段上的点，是线段上的点，且

（Ⅰ）当时，证明平面；

   （Ⅱ）是否存在实数，使异面直线与所成的角为？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）存在实数使异面直线与所成的角为. 

【解析】（1）当时，分别是所在边的中点，在矩形中，利用三角形相似证出，由已知得，根据线面垂直的判定定理可证出结论.（2）异面直线与所成的角为，即，在直角三角形中，.设，再求出，，.由余弦定理求得.代入求出的值.

（Ⅰ）当时，则为的中点.

又 ，

∴在与中，，

，，∴.

 又∵平面，平面，

∴.

∴平面          ………………………………………………………… （6分）

（Ⅱ）设, 则.连结，则面.

∴.

∵，∴，.

在中，，

设异面直线与所成的角为，则，

∴,  ∴.

∴.

解得.

∴存在实数，使异面直线与所成的角为. ……………………………… （12分）

方法二：（坐标法）

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

（Ⅰ）当时，则为的中点，设, 则，则

，，，,.

,，.

,.

 ∴平面.     ………………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）设, 则，

∴，，,.

∵ ,

∴ , .

,.

依题意，有，

∵ ，∴  ∴.

∴存在实数使异面直线与所成的角为.   ……………………………… （12分）