Question

已知函数f（x）=

x+ 1 2 ，x∈[0， 1 2 ) 2x-1，x∈[ 1 2 ，2)

，若存在x₁，x₂，当0≤x₁＜x₂＜2时，f（x₁）=f（x₂），则x₁f（x₂）的取值范围是（　　）

• A、[

  2 -1

  4

  ，

  1

  2

  )
• B、[

  1

  2

  ，1)
• C、[

  2

  4

  ，1)
• D、[

  2- 2

  4

  ，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：先作出函数图象然后根据图象，根据f（x₁）=f（x₂），确定x₁的取值范围然后再根据x₁f（x₂）=x₁f（x₁），转化为求在x₁的取值范围即可．

解答：解：作出函数的图象：
∵存在x₁，x₂，当0≤x₁＜x₂＜2时，f（x₁）=f（x₂）
∴0≤x₁＜

1

2

，
∵x+

1

2

在[0，

1

2

）上的最小值为

1

2

；
2^x-1在[

1

2

，2）的最小值为

2

2

，
∴x₁+

1

2

≥

2

2

，x₁≥

2 -1

2

，
∴

2 -1

2

≤x₁＜

1

2

．
∵f（x₁）=x₁+

1

2

，f（x₁）=f（x₂）
∴x₁f（x₂）=x₁f（x₁）=

x

2 1

+

1

2

x1，
设y=

x

2 1

+

1

2

x1，（

2 -1

2

≤x₁＜

1

2

），
则对应抛物线的对称轴为x=-

1

4

，
∴y=

x

2 1

+

1

2

x1，在区间[

2 -1

2

，

1

2

）上递增，
∴当x=

1

2

时，y=

1

2

，
当x=

2 -1

2

时，y=

2- 2

4

，
即x₁f（x₂）的取值范围为[

2- 2

4

，

1

2

）．
故选：D．

点评：本题主要考查分段函数的应用，以及函数零点和方程之间的关系，利用二次函数的单调性是解决本题的关键，综合性强，难度较大．