Question

如图，点分别是椭圆C:的左、右焦点，过点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于点，过点作的垂线交直线于点.

（1）如果点的坐标为（4,4），求椭圆的方程；
（2）试判断直线与椭圆的公共点个数，并证明你的结论.

Answer 1

（1）；（2）1个.

试题分析：（1）要求椭圆方程，由于，需要通过已知条件表示出点的坐标，由于轴，则，代入椭圆方程求得点的纵坐标，从而求得直线的斜率，根据求的直线的斜率，有直线方程的点斜式求出直线的方程，直线的方程与联立求得点的坐标，从而求得、，由于椭圆中可求出，即可求得椭圆的方程；（2）要判断直线与椭圆的公共点个数，需要求出直线的方程，与椭圆方程联立，消去或得到关于或得一元二次方程，通过判断这个方程的的根的情况，即可得出所求的交点的个数.
试题解析：解方程组得点的坐标为，，
 ，，直线的方程为，
将代入上式解得，.               4分
（1）因为点的坐标为（4,4），所以，解得，，
椭圆的方程为.                           7分
（2），则 点的坐标为，
，
的方程为，即，        9分
将的方程代入椭圆的方程得，
    ①
，
方程①可化为，
解得，
所以直线与椭圆只有一个公共点                    13分