Question

【题目】已知圆：，圆与圆关于直线：对称.

（1）求圆的方程；

（2）过直线上的点分别作斜率为，4的两条直线，，使得被圆截得的弦长与被圆截得的弦长相等.

（i）求点的坐标；

（ii）过点任作两条互相垂直的直线分别与两圆相交，判断所得弦长是否恒相等，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) （i）.（ii）恒相等.见解析

【解析】

(1)根据轴对称求得圆的圆心即可.

(2)由题,两问均可设与过点任作两条互相垂直的直线分别为,再由题意得到的距离与到的距离相等,列式求解与证明即可.

（1）设，因为圆与圆关于直线：对称，，

则直线与直线垂直，中点在直线上，得，

解得，所以圆：.

（2）（i）设，的方程为，即；

的方程为，即.

因为被圆截得的弦长与被圆截得的弦长相等，且两圆半径相等，

所以到的距离与到的距离相等，即，

所以或.

由题意，到直线的距离，

所以不满足题意，舍去，

故，点坐标为.

（ii）过点任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.

证明如下：

当的斜率等于0时，的斜率不存在，被圆截得的弦长与被圆截得的弦长都等于圆的直径；

当的斜率不存在，的斜率等于0时，与圆不相交，与圆不相交.

当、的斜率存在且都不等于0，两条直线分别与两圆相交时，设、的方程分别为

，，即，.

因为到的距离，

到的距离，所以到的距离与到的距离相等.

因为圆与圆的半径相等，所以被圆截得的弦长与被圆截得的弦长恒相等.

综上所述，过点任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.