Question

若log₄（x+2y）+log₄（x-2y）=1，则|x|-|y|的最小值是

3

．

Answer 1

分析：由函数的图象的对称性知，只考虑y≥0的情况即可，因为x＞0，所以只须求x-y的最小值．令x-y=u代入x²-4y²=4中，由判别式大于或等于零求出u的最小值，即为所求．

解答：解：由题意可得 

x+2y＞0 x-2y＞0 (x+2y)(x-2y)=4

⇒

x＞2|y|≥0 x2-4y2=4

，即 x²-4y²=4，即

x2

4

-y²=1，
表示焦点在x轴上的双曲线，曲线关于x轴、y轴、原点都是对称的．
由函数的图象的对称性知，只考虑y≥0的情况即可，因为x＞0，所以只须求x-y的最小值．
令x-y=u代入x²-4y²=4中，有3y²-2uy+（4-u²）=0，
∵y∈R，∴△≥0，解得u≥

3

．
∴当x=

4

3

3

，y=

3

3

时，u=

3

，故|x|-|y|的最小值是

3

．
故答案为

3

．

点评：本小题主要考查函数与函数的图象，函数图象的对称性的应用，求函数的最值，属于基础题．