Question

如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，．

（1）求证：；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

 (本题考查空间的线面关系、二面角、空间向量及坐标运算、圆柱的侧面积、余弦定理等知识，考查数形结合、化归转化的数学思想和方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)

解: （1）(解法一)：由题意可知  ，

解得  ，                          …………分

在中，

，      …………分

 ∴  ，

又 ∵是的中点，

∴ .　　　　①              …………分

∵为圆的直径，  

∴  .

由已知知  ， 

 

∴  ，

∴   .                …………分

∴  .       ②

∴  由①②可知：，

∴  .                       …………分

（2） 由（1）知： ，

 ∴，，

∴是二面角的平面角 . …………分

,

, .

∴ . 

 .    ………分

(解法二)：建立如图所示的直角坐标系，

由题意可知.

解得.

                   

则，，

， ，

∵是的中点，

∴ 可求得.            …………分

（1），，

∴ .

 ∵ ，

∴  .            …………分

（2）由（1）知,

， 

，

，  

 .                           

∵，.

∴是平面的法向量.                        …………分

设是平面的法向量，

由，，

解得                                    …………分

.

 所以二面角的平面角的余弦值.        …………分