Question

如图所示，圆柱的高为2，底面半径为

7

，AE、DF是圆柱的两条母线，过AD作圆柱的截面交下底面于BC，四边形ABCD是正方形，EO⊥AB．
（Ⅰ）求证BC⊥BE；
（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BC⊥面ABE，即可得到BC⊥BE；
（Ⅱ）根据锥体的体积公式即可求四棱锥E-ABCD的体积．

解答：解：（Ⅰ）∵AE是圆柱的母线，
∴AE⊥下底面，
又BC?下底面，
∴AE⊥BC…．（3分）
又∵截面ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，
又AB∩AE=A
∴BC⊥面ABE，
又BC?面ABE，
∴BC⊥BE  …（7分）
（Ⅱ）∵母线AE垂直于底面，
∴AE是三棱锥A-BCE的高…（8分），
由（Ⅰ）知BC⊥面ABE，BC?面ABCD，
∴面ABCD⊥面ABE，
又∵面ABCD∩面ABE=AB，EO?面ABE，EO⊥AB，
∴E0⊥面ABCD，
即EO就是四棱锥E-ABCD的高…（10分）
设正方形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，BE=

AB2-AE2

=

x2-4

，
又∵BC⊥BE，
∴EC为直径，即EC=2

7

，
在Rt△BEC中，EC²=BE²+BC²，
即(2

7

)2=x2+x2-4，
∴x=4
∴S_ABCD=4×4=16，…（12分）
EO=

AE•BE

AB

=

2× 42-4

4

=

3

∴V_E-ABCD=

1

3

×OE•SABCD=

1

3

×

3

×16=

16 3

3

．

点评：本题主要考查空间线面垂直的性质的应用，以及空间锥体的体积的计算，要求熟练掌握相应的性质定理和锥体的体积公式，考查学生的计算能力．