Question

【题目】圆x2＋y2＝1上任意一点P，过点P作两直线分别交圆于A，B两点，且∠APB＝60°，则|PA|2＋|PB|2的取值范围为___．

Answer 1

【答案】(5，6]

【解析】

过点P做直径PQ，如图，根据题意可得：|PQ|＝2.

令∠APQ＝θ，则∠BPQ＝－θ.由题意可知：0<θ<.

那么，|PA|＝|PQ|cos θ＝2cos θ，

|PB|＝|PQ|cos＝2cos.

|PA|2＋|PB|2＝(2cos θ)2＋＝4

＝4＝4cos2θ＋

＝2cos2θ＋2sin θcos θ＋3

＝sin 2θ＋cos 2θ＋4＝2+4

＝2sin＋4.

∵0<θ<，

∴0<2θ<，

∴<2θ＋<，

∴<sin≤1.

∴5<2sin＋4≤6.

因此，|PA|2＋|PB|2的取值范围为(5，6]．