题目内容
已知函数f（x）=x3+a•x2+bx+c的图象上的一点M（1，m）处的切线的方程为y=2，其中a，b，c∈R．
（1）若a=-3，求f（x）的解析式，并表示成f（x）=（x+t）3+k，（t，k为常数）；
（2）问函数y=f（x）是否有单调减区间，若存在，求单调减区间（用a表示），若不存在，请说明理由．
（1）若a=-3，求f（x）的解析式，并表示成f（x）=（x+t）3+k，（t，k为常数）；
（2）问函数y=f（x）是否有单调减区间，若存在，求单调减区间（用a表示），若不存在，请说明理由．
（本小题满分12分）
（1）f′（x）=3x2+2a•x+b?f′（1）=3+2a+b=0
由∵m=2?f（1）=1+a+b+c=2∵a=-3?b=3，c=1，f（x）=x3-3x2+3x+1=（x-1）3+2…（4分）
（2）f′（x）=3x2+2a•x+b由（1）知b=-2a-3
所以 f′(x) =3x2+2a•x-(2a+3)=3(x+
)•(x-1)…（6分）
令f′(x) =0?x=-
，x=1…（8分）
当-
=1?a=-3即f′（x）=3（x-1）2≥0
∵f（x）为R上为增函数，所以函数没有单调减区间； …（9分）
当-
＞1?a＜-3时，可以判定f（x）单调减区间为(1，-
)…（10分）
当-
＜1?a＞-3时，可以判定f（x）单调减区间为(-
，1)…（11分）
综上：a=-3，函数没有单调减区间；a＜-3，f（x）单调减区间为(1，-
)；
a＞-3，f（x）单调减区间为(-
，1)．…（12分）
（1）f′（x）=3x2+2a•x+b?f′（1）=3+2a+b=0
由∵m=2?f（1）=1+a+b+c=2∵a=-3?b=3，c=1，f（x）=x3-3x2+3x+1=（x-1）3+2…（4分）
（2）f′（x）=3x2+2a•x+b由（1）知b=-2a-3
所以 f′(x) =3x2+2a•x-(2a+3)=3(x+
| 2a+3 |
| 3 |
令f′(x) =0?x=-
| 2a+3 |
| 3 |
当-
| 2a+3 |
| 3 |
∵f（x）为R上为增函数，所以函数没有单调减区间； …（9分）
当-
| 2a+3 |
| 3 |
| 2a+3 |
| 3 |
当-
| 2+3a |
| 3 |
| 2a+3 |
| 3 |
综上：a=-3，函数没有单调减区间；a＜-3，f（x）单调减区间为(1，-
| 2a+3 |
| 3 |
a＞-3，f（x）单调减区间为(-
| 2a+3 |
| 3 |
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|