Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面长为

2

，侧棱长为1，则这个棱柱的侧面对角线AB₁与BC₁所成角的余弦值等于

1

3

．

Answer 1

分析：通过作平行线把异面直线所成的角转移到一个三角形中，利用解直角三角形求出三角形的三边，然后利用余弦定理求解．

解答：解：如图，

连结DC₁，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由AD∥B₁C₁，AD=B₁C₁，
所以四边形ADC₁B₁为平行四边形，则∠DC₁B对角线AB₁与BC₁所成角．
由题意求得DC1=BC1=

3

，DB=2．
所以cos∠DC1B=

DC12+BC12-DB2

2DC1•BC1

=

( 3 )2+( 3 )2-22

2× 3 × 3

=

1

3

．
故答案为

1

3

点评：本题考查求异面直线角的能力，在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，训练了利用余弦定理求角的余弦值，是中档题．