Question

证明：任何一个正的既约真分数m／n可以表示成两两互异的自然数的倒数之和．

Answer 1

证明：对m用数学归纳法．

m＝1时，显然成立．假设对小于m的自然数命题成立，我们证明它对m＞1也成立．为此，设

n＝qm＋r(0≤r＜m)                                          (1)

因为m／n是正的既约真分数，所以q＞0，r＞0．

又因0＜m－r＜m，所以由归纳假设，

其中t₁＜t₂＜…＜t_k为自然数．

因为n＞m，所以由(3)知：t₁＞q＋1，将(3)代入(2)得

所以，命题对任何自然数m都成立．