题目内容

已知函数f（x）=x-2
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．
分析：（1）根据函数奇偶性的定义判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）根据函数单调性的定义判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．
解答：解：（1）函数f（x）的奇偶性为偶函数．
∵f（x）=
1
x2
的定义域为{x|x≠0}，
∴f（-x）=f（x），
即函数f（x）为偶函数．
（2）函数f（x）在（0，+∞）上的单调性递减．
设x2＞x1＞0，
则f(x2)-f(x1)=
1
x
2
2
-
1
x
2
1
=
x
2
1
-
x
2
2
x
2
1
x
2
2
=
(x1-x2)(x1+x2)
x
2
1
x
2
2
，
∵x2＞x1＞0，
∴x1+x2＞0，x1-x2＜0，
即f（x2）-f（x1）＜0，
∴f（x2）＜f（x1），
∴函数f（x）在（0，+∞）上的单调性递减．
点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用奇偶性的定义和单调性的定义是解决本题的关键．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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