Question

已知二次函数，直线，直线（其中，为常数）；．若直线₁、₂与函数的图象以及、轴与函数的图象所围成的封闭图形如图阴影所示．

（Ⅰ）求、、的值；

（Ⅱ）求阴影面积关于的函数的解析式；

（Ⅲ）若问是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（I）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且的最大值为16

       则，

       ∴函数的解析式为……………4分

       （Ⅱ）由得

       ∵0≤t≤2，∴直线与的图象的交点坐标为（……………6分

       由定积分的几何意义知：

……………9分

（Ⅲ）令

       因为，要使函数与函数有且仅有2个不同的交点，则函数的图象与轴的正半轴有且只有两个不同的交点

      

       ∴=1或=3时，

       当∈（0，1）时，是增函数，当∈（1，3）时，是减函数，当∈（3，+∞）时，是增函数……………12分

       又因为当→0时，；当

       所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须

       即， ∴或

                                                             ∴当或时，函数与的图象有且只有两个不同交点。…………14分