Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E在棱CC₁上，点F是棱C₁D₁的中点
（1）若AF∥平面BDE，求CE的长；
（2）若平面BDE⊥平面A₁BD，求三棱锥F-ABE的体积．

Answer 1

分析：（1）连接AC交BD于O，连接CF交DE于P，连接PO，由AF∥平面BDE，知AF∥PO，由O为AC中点，知P为CF中点，由此能求出CE的长．
（2）由平面BDE⊥平面A₁BD且EO⊥BD，知EO⊥平面A₁BD，由AC₁⊥平面A₁BD，知EO∥AC₁，因此E为CC₁的中点，由此能求出三棱锥F-ABE的体积．

解答：解：（1）连接AC交BD于O，连接CF交DE于P，连接PO，
∵AF∥平面BDE，∴AF∥PO，
又∵O为AC中点，∴P为CF中点，（2分）
在正方形CD₁C₁C中，延长DE交D₁C₁的延长线于点Q，
由平面几何知识得

C1E

C1B

=

1

3

，
所以CE=

2

3

．（5分）
（2）∵平面BDE⊥平面A₁BD且EO⊥BD，
∴EO⊥平面A₁BD，（7分）
又∵AC₁⊥平面A₁BD，∴EO∥AC₁，
因此E为CC₁的中点，（9分）
∵B₁C⊥平面ABF，∴E到平面ABF 的距离为

2

2

，
又∵S△ABF=2

2

，
∴三棱锥F-ABE的体积VF-ABE=VE-ABF=

1

3

S△ABF•

2

2

=

2

3

．（12分）

点评：本题考查线段长的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，合理地化空间问题为平面问题，注意等积法的合理运用．