Question

【题目】设函数y=f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0且f（x+1）=f（x﹣1），若x∈（0，1）时，f（x）=log2 ，则y=f（x）在（1，2）内是（ ）
A.单调增函数，且f（x）＜0
B.单调减函数，且f（x）＜0
C.单调增函数，且f（x）＞0
D.单调增函数，且f（x）＞0

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（﹣x）+f（x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），
即函数f（x）是奇函数，
∵f（x+1）=f（x﹣1），
∴f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为2的函数，
设t= ，则函数在x∈（0，1）上为增函数，y=log2t为增函数，则函数f（x）为增函数，
则函数f（x）在（﹣1，0）上为增函数，
∵函数的周期是2，
∴函数f（x）在（1，2）上为增函数，
若x∈（﹣1，0），则﹣x∈（0，1），
则f（﹣x）=log2 ，
∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=log2 =﹣f（x），
即f（x）=﹣log2 =log2（x+1），
当x∈（﹣1，0），则x+1∈（0，1），则f（x）＜0，
即函数y=f（x）在（1，2）内是单调增函数，且f（x）＜0，
故选：A