Question

2．已知数列{a_n}的通项公式a_n=（2n-1）×2^n-1，求该数列的前n项和．

Answer 1

分析 通过a_n=（2n-1）×2^n-1可知S_n=1×2⁰+3×2¹+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1、2S_n=1×2¹+3×2²+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：∵a_n=（2n-1）×2^n-1，
∴S_n=1×2⁰+3×2¹+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，
2S_n=1×2¹+3×2²+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
错位相减得：-S_n=1+2（2¹+2²+…+2^n-1）-（2n-1）×2ⁿ
=1+2×$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）×2ⁿ
=1+2×2ⁿ-4-（2n-1）×2ⁿ
=-3-（2n-3）×2ⁿ，
∴S_n=3+（2n-3）×2ⁿ．

点评 本题考查数列的求和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．