Question

【题目】如图，在三棱锥中，两两垂直，，平面平面，且与棱分别交于三点．

（1）过作直线，使得，，请写出作法并加以证明；

（2）若α将三梭锥P﹣ABC分成体积之比为8：19的两部分（其中，四面体P1A1B1C的体积更小），D为线段B1tC的中点，求直线P1D与平面PA1B1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】分析：（1）取BC的中点H，连结AH，则直线AH即为要求的直线l；

（2）根据体积比得出P1A1=A1B1=2，将四棱锥分解成两个小三棱锥计算体积．

详解：（1）作法：取的中点，连接，则直线即为要求作的直线.

证明如下：∵，，且，∴平面.

∵平面平面，且平面，平面平面，

∴，

∴平面，∴.

又，为的中点，则，从而直线即为要求作的直线.

（2）∵将三棱锥分成体积之比为的两部分，

∴四面体的体积与三棱锥的体积之比为，

又平面平面，∴.

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，

则，，，，，

，，，

设平面的法向量为，

则，即，

令，得.

则.

故直线与平面所成角的正弦值为.