Question

已知关于x的函数y=（m+6）x²+2（m-1）x+m+1恒有零点．
（1）求m的范围；
（2）若函数有两个不同零点，且其倒数之和为-4，求m的值．

Answer 1

分析：（1）当m+6=0时，即m=-6时，满足条件．当m+6≠0时，由≥0求得m≤-

5

9

且m≠-6．综合可得m的范围．
（2）设x₁，x₂是函数的两个零点，由条件并利用一元二次方程根与系数的关系求得m的值．

解答：解：（1）当m+6=0时，m=-6，函数为y=-14x-5显然有零点．
当m+6≠0时，m≠-6，由△=4（m-1）²-4（m+6）（m+1）=-36m-20≥0，得m≤-

5

9

．
∴当m≤-

5

9

且m≠-6时，二次函数有零点．
综上可得，m≤-

5

9

，即m的范围为（-∞，-

5

9

]．
（2）设x₁，x₂是函数的两个零点，则有 x₁+x₂=-

2(m-1)

m+6

，x₁x₂=

m+1

m+6

．
∵

1

x1

+

1

x2

=-4，即

x1+x2

x1x2

=-4，
∴-

2(m-1)

m+1

=-4，解得m=-3．
且当m=-3时，m+6≠0，△＞0，符合题意，
∴m的值为-3．

点评：本题主要考查函数的零点的定义，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．