Question

已知抛物线的焦点为F，以点A（，0）为圆心，为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于M、N两点。

    （1）求证：点A在以M、N为焦点，且过F的椭圆上。

    （2）设点P为MN的中点，是否存在这样的a，使得的等差中项？如果存在，求a的值；如果不存在，说明理由。

Answer 1

解析：（1）因为 点A的坐标为（，0），抛物线的焦点为F（a，0），准线为，

    所以 

    所以  以A为圆心，|FA| 为半径的圆在x轴的上方的方程为

    ，（）

    由

    得 

      设M（），N（）（其中：()均为正数），则有

     

     

    又  抛物线上的点到焦点与准线的距离相等

    所以 

                                           

   

    因为点F、M、N均在⊙A上，

    所以，

       

    因为，且

    所以点A在以M、N为焦点且过F的椭圆上

    （2）假设存在满足条件的a，则有

    ，即

    设点P的坐标为（），则有

   

    由，得

   

    化简，得

    所以，与矛盾

    故不存在满足条件的，即不存在值，使得点P为MN的中点，且|FP|是|FM|与|FN|的等差中项。