Question

已知函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.
(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；
(2)若任意x∈R，f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

(1)         (2) [1,+∞)

试题分析：(1)∵|x＋1|≥2|x|⇒x²＋2x＋1≥4x²⇒－≤x≤1，
∴不等式f(x)≥g(x)的解集为.
(2)若任意x∈R， |x＋1|2|x|＋a恒成立，即任意x∈R， |x＋1|－2|x|a恒成立，
令φ(x)＝|x＋1|－2|x|，则a φ(x)_max，
又φ(x)＝
当x≥0时，φ(x)≤1；当－1≤x<0时，－2 ≤φ(x)<1；当x<－1时，φ(x)<－2.
综上可得：φ(x)≤1，
∴a1，即实数a的取值范围为[1,+∞)．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值，函数的恒成立问题，属于中档题．