Question

（2012•江苏）设集合P_n={1，2，…，n}，n∈N^*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：
①A⊆P_n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈?PnA，则2x∉?PnA．
（1）求f（4）；
（2）求f（n）的解析式（用n表示）．

Answer 1

分析：（1）由题意可得P₄={1，2，3，，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故可求f（4）
（2）任取偶数x∈p_n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，可知，若m∈A，则x∈A，?k为偶数；若m∉A，则x∈A?k为奇数，可求

解答：解（1）当n=4时，P₄={1，2，3，，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}
故f（4）=4
（2）任取偶数x∈p_n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，
于是x=m•2^k，其中m为奇数，k∈N^*
由条件可知，若m∈A，则x∈A，?k为偶数
           若m∉A，则x∈A?k为奇数
于是x是否属于A由m是否属于A确定，设Q_n是P_n中所有的奇数的集合
因此f（n）等于Q_n的子集个数，当n为偶数时（或奇数时），P_n中奇数的个数是

1

2

n（或

1+n

2

）
∴f(n)=

2 n 2 ，n为偶数 2 n+1 2 ，n为奇数

点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用，解题的关键是准确应用题目中的定义