题目内容
已知向量| a |
| b |
| c |
| d |
（1）求证：
| a |
| b |
| c |
（2）设f（θ）=
| a |
| b |
| d |
分析：（1）利用向量的数量积公式求出
•(
+
)，利用向量垂直的常用条件得到证明．
（2）利用向量的数量积公式求出f（θ），将f（θ）化简，利用三角函数的有界性求出其值域．
| a |
| b |
| c |
（2）利用向量的数量积公式求出f（θ），将f（θ）化简，利用三角函数的有界性求出其值域．
解答：解（1）∵
•(
+
)=(cosθ，sinθ)•(cos2θ-1，sin2θ)=cosθcos2θ+sinθsin2θ-cosθ
=cos（2θ-θ）-cosθ=0，
∴
⊥(
+
)
（2）
-
=(cos2θ，sin2θ-1)
f（θ）=
•(
-
)=cosθcos2θ+sinθsin2θ-sinθ
=cosθ-sinθ=
cos(θ+
）
∵θ∈（0，π），
∴θ+
∈(
，
），
∴cos（θ+
)∈[-1，
）∈[-1，
]
∴f（θ）的值域为[-
，1）
| a |
| b |
| c |
=cos（2θ-θ）-cosθ=0，
∴
| a |
| b |
| c |
（2）
| b |
| d |
f（θ）=
| a |
| b |
| d |
=cosθ-sinθ=
| 2 |
| π |
| 4 |
∵θ∈（0，π），
∴θ+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
∴cos（θ+
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴f（θ）的值域为[-
| 2 |
点评：平面向量与三角函数的结合的试题中，向量一般都是转化的工具，然后利用三角函数的公式及性质进行求解，正弦定理与余弦定理是用来解三角形的常用工具，还考查了基本不等式在求最值中的应用．
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