Question

如图，三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。
（1）求证：DM//平面APC；
（2）求证：平面ABC⊥平面APC；
（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM的体积。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵M为AB中点，D为PB中点， ∴MD//AP， 又∵MD平面ABC， ∴DM//平面APC； （Ⅱ）∵△PMB为正三角形，且D为PB中点， ∴MD⊥PB， 又由（Ⅰ）∴知MD//AP， ∴AP⊥PB 又已知AP⊥PC， ∴AP⊥平面PBC， ∴AP⊥BC， 又∵AC⊥BC， ∴BC⊥平面APC， ∴平面ABC⊥平面PAC； （Ⅲ）∵AB=20　　 ∴MB=10， ∴PB=10， 又BC=4， ∴ 又MD= ∴VD-BCM=VM-BCD=。